Effetti della curvatura trasversale
sulla turbolenza di parete

Fabio Brenna

Per studiare come la presenza di pareti concave o convesse nella direzione trasversale rispetto a quella del flusso medio influenza la statistiche della turbolenza, abbiamo utilizzare la simulazione diretta (DNS) delle equazioni di Navier-Stokes, simulando il flusso turbolento in un condotto a sezione anulare: una geometria semplice, ma che comprende entrambi i tipi di curvatura. Questa geometria è schematicamente illustrata in figura 1.

Figure 1: Sistema di riferimento per la DNS del condotto anulare.

In letteratura il problema della curvatura trasversale non è ancora stato studiato a fondo. In particolare la geometria anulare viene affrontata dal punto di vista sperimentale in un ridotto numero di lavori (ad esempio si vedano [5] e [3]), che però non studiano il comportamento della turbolenza in prossimità della parete, anche per motivi legati alla difficoltà di compiere misure in tale regione. Le prime simulazioni numeriche dirette del flusso turbolento in un condotto anulare risalgono solo al 2000, e sono quelle preliminari che utilizzano la versione precedente del codice di calcolo sviluppato in questa tesi (si veda il lavoro di Quadrio & Luchini [4]).

Una geometria molto studiata, e in parte simile alla nostra per quanto riguarda la parete convessa, è quella di un cilindro investito assialmente dalla corrente (per esempio Rao [6], Lueptow et al [1]). A causa delle difficoltà numeriche, esiste una sola indagine condotta tramite DNS [2]. Tutti questi lavori riguardano livelli di curvatura molto elevati.

La parete concava è invece poco studiata, sia dal punto di vista sperimentale che numerico. Esistono parecchi dati riferiti al flusso in un condotto a sezione circolare, ma si sa poco o nulla di quanto accade in un condotto anulare, dove la mutua influenza tra le pareti è importante nel determinare le caratteristiche del flusso.

Si è deciso quindi di studiare gli effetti di valori molto bassi (0.5 e 1) del parametro di curvatura $\gamma$ = $\delta$/$\mathcal {R}$_i (dove, come si vede nella figura 1, $\mathcal {R}$_i è il raggio del cilindro interno mentre $\delta$ è la metà della distanza fra i due cilindri) per capire come, a partire dal flusso su parete piana l'aumento di curvatura influenza le quantità statistiche che caratterizzano la turbolenza di parete.

A questo scopo si è proseguito lo sviluppo di un codice di calcolo, a discretizzazione mista spettrale/differenze finite, per la simulazione numerica diretta del flusso entro un condotto a sezione anulare. Il calcolo delle derivate radiali, che avveniva con schemi del secondo ordine, ora viene realizzato mediante formule compatte (e quindi ad alta risoluzione) accurate al quart'ordine; inoltre ora è possibile il calcolo parallelo su un qualsiasi numero di elaboratori dotati di una o più CPU. In questa tesi abbiamo usato il cluster di Personal Computers recentemente costruito presso il Centro di Calcolo del Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale del Politecnico di Milano.

La potenza di calcolo e l'efficienza del codice hanno permesso di effettuare in tempi ragionevoli simulazioni con un numero di gradi di libertà molto elevato. Una di queste, che utilizza 25 milioni di incognite, costituisce la simulazione diretta della turbolenza di parete più impegnativa che sia mai stata effettuata in coordinate cilindriche.

Figure 2: Coefficiente d'attrito in funzione del parametro di curvatura g sulle pareti del condotto anulare.

L'analisi dei risultati ha permesso di osservare, sulla parete convessa, effetti qualitativamente simili, ma ridotti in intensità, a quelli riscontrati da altri autori per livelli di curvatura superiori. Il risultato non è banale, in quanto è opinione diffusa in letteratura che per curvature così basse non si riscontrano differenze rispetto al caso piano. Al crescere della curvatura, l'attrito a parete cresce, come si vede chiaramente nella figura 2, le fluttuazioni di velocità e gli sforzi di Reynolds sono ridotti in intensità e le strutture turbolente presenti vicino alla parete sono più allungate in direzione assiale rispetto al caso piano di riferimento.

Il flusso medio è ancora ben descritto dalla legge della parete universalmente accettata per il caso piano, a patto di introdurre una dipendenza dai parametri di curvatura delle due costanti che in essa compaiono: l'andamento del profilo è mostrato nella figura 3.

Livelli di curvatura tanto bassi influenzano il flusso anche nella zona della parete esterna, in maniera tendenzialmente opposta a quanto avviene sulla parete interna. L'attrito a parete infatti diminuisce, mentre l'intensità delle fluttuazioni di velocità aumenta. Il caso a curvatura maggiore ha poi mostrato caratteristiche simili a quelle del flusso in un condotto a sezione circolare, in particolare per quanto riguarda le modifiche alla legge della parete.

Figure 3: Profilo medio di velocità assiale sulla parete interna del condotto: la regione di legame logaritmico tra velocità e distanza dalla parete espresse in unità interne ruota in senso orario al crescere di $\gamma$