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In questo lavoro abbiamo studiato la dinamica dell'interfaccia che separa due fluidi diversi ed evolve sotto l'effetto della tensione superficiale. Il flusso di riferimento è la cella di Hele-Shaw, in cui l'interfaccia separa una bolla di fluido a viscosità minore che si espande in un fluid a viscosità è maggiore. Questo tipo di flusso presenta un'instabilità dell'interfaccia, nota come viscous fingering, che fra l'altro ha rilevanza pratica nel processo di etsrazione petrolifera, in cui viene pompata dell'acqua per ottenere l'estrazione dell'olio. Si sono anche ottenuti risultati preliminari molto interessanti per il controllo del fenomeno del fingering.
Le figure qui sotto rappresentano un esempio di viscous fingering dovuto all'iniezione di kerosene in olio minerale (a sinistra) e uno schema del fenomeno di fingering nel tipico caso di estrazione petrolifera mediante iniezione di acqua (a destra).
Il metodo numerico si basa su una discretizzazione del campo di moto mediante schemi a differenzee finite su una mesh di calcolo regolare, mentre l'interfaccia è rappresentata esplicitamente da una griglia aggiuntiva, separata, che si muove attraverso la griglia stazionaria. Oltre a non causare diffusione artificale dell'interfaccia, questo metodo di tracciatura lagrangiana permette in modo naturale di includere gli effetti della tensione superficiale. Una tecnica di ricostruzione permette poi di modellare in modo naturale, robusto ed efficiente la rottura e la coalescenza dell'interfaccia.
Le due figure seguenti mostrano (a sinistra) l'impostazione del metodo numerico, in cui una griglia fissa su cui le equazioni vengono risolte alle differenze si affianca ad una griglia mobile, di dimensione inferiore, che è definita da un set di punti che si muovono lagrangianamente e che individua il confine fra le due fasi. A destra si osserva invece lo spessore della zona di transizione fra le fasi, descritta da una funzione di Heaviside.
Il metodo è stato verificato riproducendo alcuni risultati noti dalla teoria della stabilità lineare, con i quali abbiamo ottenuto un ottimo accordo. I calcoli in regime non-lineare mostrano nitidamente l'evoluzione dell'interfaccia, e la dipendenza del fenomeno dell'accrescimento delle dita daione superficiale.
L'immagine riprodotta qui sotto mostra infine come il metodo sia in grado di rappresentare in maniera naturale un fenomeno complesso quale il distacco di una goccia e il successivo riattacco, una dinamica complessa dominata dalla competizione fra dita adiacenti.
