Correlazioni spazio-temporali nella turbolenza di parete

Stefano Giussani

In questo lavoro viene descritto il calcolo del tensore completo delle correlazioni fra le componenti della velocità per la corrente turbolenta in un canale piano. Questo tensore, che è funzione di tre separazioni spaziali e di una separazione temporale, nella sua interezza non è ancor oggi stato misurato o calcolato a causa dell'eccessiva complessità. D'altro canto, la sua conoscenza permette di estrarre una notevole quantità di informazioni sulla natura energetica della turbolenza a parete, e di effettuare una Proper Orthogonal Decomposition della corrente.

In una prima fase del lavoro si è costruito un database di campi di velocità, prodotto mediante l'integrazione numerica delle equazioni di Navier-Stokes con la tecnica della simuazione numerica diretta (DNS). La struttura particolare di questo database è dettata dall'esigenza di contenere le difficoltà di calcolo del tensore di correlazione. La simuazione DNS avviene in modalità parallela, ed il database risiede in maniera distribuita sulle macchine che partecipano al calcolo.

In una seconda fase, a partire da questo database, il calcolo del tensore di correlazione viene condotto attraverso una procedura ottimizzata che sfrutta tutte le possibilità offerte dalle ipotesi di omogeneità ed ergodicità. Ricorrendo ad algoritmi di Fast Fourier Transform tale calcolo permette di ottenere il tensore in un tempo di calcolo ragionevole utilizzando un normale Personal Computer. Fissata una quota di riferimento, una particolare componente $i,j$ del tensore (simmetrico) di correlazione dipende dalla separazione temporale $\Delta t^+$, dalla separazione spaziale in direzione longitudinale $\Delta x^+$ e trasversale $\Delta z^+$, e dalla distanza $y^+-y^+_{ref}$ dalla quota di riferimento (le grandezze indicate con $+$ sono normalizzate con le variabili interne):

$$R_{ij} = R_{ij}(\Delta x^+, y^+-y^+_{ref}, \Delta z^+, \Delta t^+)$$

I risultati relativi alla simulazione effettuata sono stati confrontati con i risultati parziali attualmente disponibili in letteratura, e provenienti da precedenti lavori sia numerici che sperimentali. In tutti i casi si trova ottimo accordo con le informazioni disponibili.

In via preliminare viene descritta nel lavoro di Tesi un'interpretazione delle correlazioni consistente con la presenza di strutture vorticose nella zone di parete. Si calcola inoltre la velocità di convezione, opportunamente definita in senso statistico, esaminandone la dipendenza dai principali parametri.

Figure 1: Isolinee della funzione di autocorrelazione per la componente trasversale dell'attrito a parete, per separazioni temporale $\Delta t^+=0$ e longitudinale $\Delta x^+ = 0$.

Nella figura precedente e' rappresentata a titolo di esempio l'autocorrelazione:

$$R_{33}=R_{33}(0,y^+,\Delta z^+,0)$$

della componente trasversale dell'attrito a parete, per separazioni temporale e longitudinale nulle. Si nota con evidenza la struttura della funzione in direzione normale alla parete, che ha un'estensione significativamente inferiore alla componente $R_{11}$. Infatti la $R_{33}$ è determinata principalmente dalla vorticità secondaria che si crea fra la parete e i vortici quasi-longitudinali a causa della condizione no-slip; la $R_{11}$ rispecchia invece la presenza di strutture allungate alternate a bassa e alta velocità.

Figure 2: Isosuperficie al livello +0.05 (verde) e -0.05 (blu) della funzione di autocorrelazione per la componente trasversale dell'attrito a parete, a separazioni temporale $\Delta t^+=0$.

In questa figura invece si ha una visualizzazione 3-d della medesima funzione. La disponibilità delle funzioni di correlazione per diverse separazioni temporali consente anche un'animazione delle correlazioni come quella riportata in figura.