Errori di discretizzazione temporale
nella simulazione numerica diretta
di correnti turbolente

Piergiorgio Ferro

La complessa dinamica di una corrente turbolenta in prossimità di una parete può essere descritta attraverso la simulazione numerica diretta (DNS) delle equazioni di Navier-Stokes, nei limiti di geometrie semplici e numero di Reynolds moderato. Questa descrizione, che può consistere nell'osservazione di come una singola realizzazione della corrente evolve nel tempo, acquista maggiore utilità quando si basa sul calcolo di opportune quantità che caratterizzano la turbolenza di parete in senso statistico.

Dal momento che in ogni corrente turbolenta è presente uno spettro continuo di scale spaziali e temporali, la discretizzazione delle equazioni ne comporta un inevitabile troncamento. Nascono così inevitabilmente quattro tipi di errore, legati all'inevitabile troncamento sulle scale spaziali più piccole e più grandi rappresentate nei calcoli e all'analogo duplice troncamento delle scale temporali. L'effetto di questi errori sulle statistiche della turbolenza non è, ad oggi, ancora adeguatamente descritto in letteratura. In questo lavoro abbiamo utilizzato lo strumento della DNS per una corrente turbolenta in un canale piano indefinito allo scopo di quantificare, in particolare, l'errore dovuto al passo finito di integrazione temporale.

Abbiamo allora eseguito una serie di simulazioni (alcune stremamente onerose) con la costruzione di un ampio data-base che è stato poi analizzato a posteriori: in una il passo temporale piccolissimo ha permesso di costruire una soluzione virtualmente priva di errori legati al $\Delta t$. Gli effetti del passo finito di integrazione temporale sono risultati non trascurabili ooservando le funzioni di autocorrelazione bidimensionale per le componenti della velocità: quella per la componente normale della velocità è risultata la più sensibile con un errore fino al 10 % alle basse separazioni, come si mostra in figura (linea rossa).

Figure 1: Effetto del passo temporale sulla funzione di autocorrelazione $R_{vv}$ per la componente normale della velocità; isolinee a un livello pari a 0.7 alla mezzeria del canale: linea continua nera, soluzione ``esatta''; linea continua rossa, $\Delta t$ al limite di stabilità; linee tratteggiate blu e viola: sistema di riferimento traslante. $r_x$ ed $r_z$ sono le separazioni longitudinale e trasversale.

Un secondo interessante risultato è la proposta e la verifica di una strategia capace di aumentare il $\Delta t$ riducendo contemporaneamente l'errore: si ottiene così una maggior efficienza del calcolo senza introdurre alcun aggravio di tipo computazionale. È sufficiente eseguire le simulazioni in un sistema di riferimento traslante in direzione del flusso medio, con una velocità prossima alla velocità media (bulk velocity) del flusso. In questo modo l'errore errore si annulla completamente per valori anche superiori del $\Delta t$, come si vede in figura.

Ne segue, in conclusione, la possibilità di utilizzare nella DNS della turbolenza di parete metodi di integrazione temporale espliciti con elevate caratteristiche di stabilità, in modo da arrivare ad utilizzare passi temporali limitati solo dalla fisica del problema, cioè dalla scala temporale di Kolmogorov. È però necessario provvedere una correzione per la convezione media, senza la quale abbiamo dimostrato che alcune statistiche presentano errori inaccettabili anche per valori di $\Delta t$ correntemente utilizzati. Questa correzione può essere introdotta senza aggravio computazionale, utilizzando un sistema di riferimento traslante.